Koelen van metalen buizen

Introductie¶

In het boek wordt in hoofdstuk 2 geschreven over warmtetransport. Dat kan op drie manieren plaatsvinden. Het is niet eenvoudig om deze drie verschillende vormen uit elkaar te houden. In het vak ‘Fysische Transportverschijnselen’, dat in het tweede jaar wordt gegeven, zal je zien dat de natuurkunde achter deze verschillende vormen van warmtetransport ook best ingewikkeld is.

In deze proef proberen we een inschatting te maken van de ordegrootte van de verschillende vormen van warmtetransport bij de koeling van een metalen buis aan lucht.

Theorie¶

Volgens Newton’s wet van afkoeling is de snelheid waarmee een voorwerp afkoelt evenredig met het verschil in de temperatuur van het voorwerp ( $T$ ) en de omgeving ( $T_0$ ). We kunnen dit schrijven als:

\dot{Q} = -hA(T(t) - T_0),

(1)

waarin

$\dot{Q}$ de warmtestroom in $\mathrm{W}$ ,
$A$ het oppervlak waardoor koeling optreedt in $\mathrm{m}^2$ ,
$h$ de warmteoverdrachtscoëfficiënt in $\mathrm{W/(m^2 K)}$ .

Dit levert de differentiaalvergelijking

C\dot{T} = -hA(T(t) - T_0),

(2)

met $C$ de warmtecapaciteit in $\mathrm{J/kg}$ . Herschrijven met $\tau = \frac{C}{hA}$ levert:

-\tau\dot{T} = T(t) - T_0,

(3)

met als oplossing:

T(t) - T_0 = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}.

(4)

We kunnen hieruit dus concluderen dat $\tau$ de karakteristieke tijdsduur is waarin de temperatuur van de buis een factor $\text{e}$ verlaagd ten opzichte van de omgevingstemperatuur.

We zijn hier voor het gemak uitgegaan van een $h$ die onafhankelijk is van de temperatuur. We weten echter dat warmtetransport door straling niet lineair gaat, maar als

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A (T^4 - T_0^4).

(5)

Voor kleine temperatuurverschillen ( $\Delta T = T - T_0$ ) is dit te vereenvoudigen tot

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A ((T_0+\Delta T)^4 - T_0^4) \approx \epsilon \sigma 4A T_0^3 \Delta T.

(6)

Zolang $\Delta T$ dus relatief klein is ten opzichte van $T_0$ , kunnen we $h$ dus inderdaad als een constante beschouwen.

{exercise} Uitwerken :label: ex_uitw

Laat zien dat bovenstaande geldt door eerst $(T_0+\Delta T)^4$ uit te schrijven, te substitueren en dan te bedenken dat $\Delta T$ klein is en $\Delta T^2$ dus nog kleiner.

{solution} ex_uitw (deze shit format bij niet correct dus ik werk er een beetje omheen) #your code/answer

T_0^4 + 4T_0^3 \Delta T + 6 T_0^2 \Delta T^2 +4 T_0 \Delta T^3 + \Delta T^4

(7)

delta T is klein dus alle delta ts met machten kunnen weg, dus dan hou je over

T_0^4 + T_0^3 \Delta T

(8)

\pm 6 T_0^2 \Delta T^2 +4 T_0 \Delta T^3 + \Delta T^4?

(9)

Methode en materialen¶

Ontwerp¶

Materialen¶

standaard met twee thermisch geïsoleerde grijparmen
metalen buis me bijpassende dop
thermometer (infrarood of thermokoppel)
knijper voor bevestigen thermokoppel op buis
warm water tussen 60 en 80 graden Celsius
(evt) schuifmaat voor bepalen dimensies buis

Procedure¶

Stop de buis in warm water en laat deze gedurende een paar minuten zitten om thermisch evenwicht te bereiken. Beantwoord ondertussen de volgende vragen met behulp van de tabel:

Materiaal	$\rho$ in $\text{kg/m}^3$	$C$ in $\text{J} / \text{(kg K)}$
messing	8,73E3	3,8E2
aluminium	2,7E3	8,8E2
staal	7,9E3	4,7E2

diameter buis binnen is 4.45 cm.
diameter buis buiten is 5.00 cm
hoogte buis is 15.00 cm

oppervlakte buis is

(4.45+5.00) \cdot \pi \cdot 15 + 2 \cdot (4.45-5.00) \cdot \pi= 449 cm^2

(10)

voor zover ik mij kan herineren gebruikten wij een messing buisdus dus c = $8,8\cdot 10^{-2} J(kgK)^{-1}$ om de warmtecapacitiet te krijgen doen we het gewicht van de buis keer de soortelijkewarmte het gewicht zijn we vergeten te meten maar we kunnen het globaal weten door de het volume te berekenen en te vermenigvuldigen met de dichtheid: $8,73g/cm^3$

(5-4.45) \cdot \pi \cdot 15 \cdot 8,73 = 226g = 0.226kg

(11)

dus warmtecapaciteit is $0.226*3.8*10^2=85JK^{-1}$

omgevings tempetatuur is niet geregsitreerd dus wordt geschat op 17 graden

Pak de buis op met thermisch isolerende handschoenen (of direct met de geïsoleerde grijparm) en plaats deze in de grijparm met isolatieschoentjes. Positioneer de thermometer voor optimale temperatuurlezing. Meet als functie van tijd hoe lichaam koelt. Wacht voldoende lang zodat je de karakteristieke tijd $\tau$ voor de afkoeling kan bepalen.

Doe dit voor twee of drie configuraties:

De buis met de as in verticale richting en afgesloten met dop.
De buis met de as in verticale richting zonder dop.
(alleen bij voldoende tijd) De buis met de as in horizontale richting en afgesloten met dop.

Data analyse¶

Bepaal de karakteristieke tijd $\tau$ waarin de temperatuur van buis afneemt. Deze kan verschillend zijn voor de drie bovenstaande configuraties.
Bereken hieruit de warmteoverdrachtscoëfficiënt.
Vergelijk je resultaten met je groepsgenoten die een vergelijkbare buis hebben gemeten (dit kan klassikaal).
Welk deel van de warmteoverdrachtscoëfficiënt verwacht je dat gegeven is door de geleiding, straling en convectie? Onderbouw je redenering.

Resultaten¶

# # Hier de data en de analyse

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
import pandas as pd
from datetime import datetime

# def exp_func(t, A, tau, T_omg):
#     # A is verschiltemperatuur met omgeving aan start
#     # tau is de karakteristieke tijd voor de koeling
#     # T_omg is de omgevingstemperatuur
#     return (A * np.exp(-t/tau) + T_omg)  

buitenoppervlak = 0.0449 # bepaal zelf in m^2
warmtecapaciteit = 85 # bepaal de warmtecapaciteit in J/K

#hier laad ik de data slice het
data = np.array(pd.read_excel(r'mettingen_koelbuis_kris_RAW.xlsx', header=0).transpose())
temps_1 = data[0,:]
temps_2 = data[0,:]
times_1 = data[1,:]
times_2 = data[2,:]
keep_indices = []

#de data is niet goed geformat en er zitten lege waardes in door onhandigheid tijdens het practicum
for i in range(len(times_1)):
    if type(times_1[i]) != float:
        times_1[i] = times_1[i].minute*60 +times_1[i].second #format de data naar secondes
        keep_indices.append(i) #dit en de regel hieronder verwijdert de nan
times_1, temps_1 = times_1[keep_indices], temps_1[keep_indices] #dit gebeurt door correcte indices te noteren en alleen die te pakken

keep_indices = []
for i in range(len(times_2)):
    if type(times_2[i]) != float:
        times_2[i] = times_2[i].minute*60 +times_2[i].second
        keep_indices.append(i)
times_2, temps_2 = times_2[keep_indices], temps_2[keep_indices] 

plt.scatter(temps_1, times_1, c='b', s=5)
plt.scatter(temps_2, times_2, c='r', s=5)
plt.gca().invert_xaxis()
plt.gca().invert_yaxis()
plt.show()



# pas beginwaardes aan naar schatting
# Het aantal maxfev moet wellicht hoger voor goede convergentie van de waarde
popt, pocv = curve_fit(exp_func, times_1, temps_1, p0=[20, 1000, 20], maxfev=5000, bounds=[[-600, 0, 0], [600, 5000, 600]])

times_1 = np.asarray(times_1, dtype=float)

# A_exp, tau_exp, T_omg_exp = popt

y_fit = exp_func(times_1, *popt)

# plt.figure()
# plt.xlabel('Time [s]')
# plt.ylabel('Temperature [K]')

plt.plot(times_1, temps_1, 'bo', label='measurement')
plt.plot(times_1, y_fit, 'r-', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp, tau_exp, T_omg_exp))

# plt.legend()

plt.show()
h_exp = (warmtecapaciteit) / (tau_exp * buitenoppervlak)
print(tau_exp)
print(f'h_exp = {h_exp:.4}') # warmteoverdrachtscoëfficiënt in W/m^2 K
# Sla figuren op met  
# 
# plt.savefig("Figuren/naam.png", dpi=450)

347.61636438365355
h_exp = 5.446

# pas beginwaardes aan naar schatting
# Het aantal maxfev moet wellicht hoger voor goede convergentie van de waarde
popt, pocv = curve_fit(exp_func, times_2, temps_2, p0=[50, 1000, 20], maxfev=5000, bounds=[[-100, 0, -100], [600, 5000, 600]])

times_2 = np.asarray(times_2, dtype=float)

A_exp, tau_exp, T_omg_exp = popt

y_fit = exp_func(times_2, *popt)

plt.figure()
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')

plt.plot(times_2, temps_2, 'bo', label='measurement')
plt.plot(times_2, y_fit, 'r-', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp, tau_exp, T_omg_exp))

plt.legend()

plt.show()
h_exp = (warmtecapaciteit) / (tau_exp * buitenoppervlak)
 
print(f'h_exp = {h_exp:.4}') # warmteoverdrachtscoëfficiënt in W/m^2 K
print(tau_exp)
# Sla figuren op met  
# 
# plt.savefig("Figuren/naam.png", dpi=450)

h_exp = 5.117
369.9658653942413

Discussie en conclusie¶

De $\tau$ voor de normale buis is 347 s en van de buis met de dop 370 s. De berekende warmte overdrachtcoefficient komt uit op $5,446 Wm^{-2}K^{-1}$ voor de normale buis en $5,117Wm^{-2}K^{-1}$ voor de buis met een dop erop. De deel van de warmteoverdracht dat wij hebben gekregen is de de convectie want de enige significante manier hoe de buis lucht verliest is door de beweging de lucht eromheen. test